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而阿蒂亞辛格指標定理的出現,則是現代數學統一性的極佳例子。
它的出現,不僅在內容上,溝通了分析與拓撲學兩大領域,而且在研究方法上,涉及道分析、拓撲、代數幾何、偏微分方程、多複變函式等許多核心數學分支。
而且阿蒂亞辛格指標定理,在物理學上的“楊米爾斯理論”中獲得了重要應用。
因而阿蒂亞辛格指標定理,被譽為現代數學的最大成就之一。
阿蒂亞辛格指標定理這樣涉及面如此之廣的問題,毫無疑問,是超級困難的。
如果是在進來算學碑之前,哪怕是給十個程理,他也不可能靠自己推匯出這條定理。哪怕是他已經實現知道這個定理的最終形式,也不可能從頭把這條定理推到出來。
但是,在經過這近3000層的問題洗禮,還有算學碑裡神秘資訊的淬鍊後,程理的數學水平已經有了一個恐怖的飛躍。
所以,在他自己都不敢想象中,他僅僅用了20多分鐘就把阿蒂亞辛格指標定理給推匯出來了。
在解決了阿蒂亞辛格指標定理後。
程理就來到了第2996層,而這一層的問題,也同樣艱難,這是關於“如何解孤立子方程”的一道問題。
對非線性數學問題越來越重視,也是20世紀下半葉數學發展的一個特點。
在20世紀上半葉,線性偏微分方程獲得了很大進展。但是與之相比,非線性方程的研究卻困難重重。直到數學家們開始對“孤立子”方程的研究後,非線性方程領域才得到了重大的突破和發展。
這一切起源於,一種名為“孤立波”現象的研究。
所為的孤立波,就是指船隻突然停止時激起的水波。
最早1834年,英國工程師拉塞爾,就對這種水波有所研究,他將這種水波形容為“一個滾圓而平滑,輪廓分明的巨大孤立波峰,以很快的速度離開船頭,向前運動著。在行進過程中,它的形狀和速度並沒有明顯的改變……”拉塞爾在做出這樣的描述時,還抱怨當時的數學家,並未提供能在數學上對這種孤立波描述的工具。
直到1895年,荷蘭數學家科特維格才給出了孤立波現象的數學模型,一個非線性偏微分方程,這個方程也被成為KdV方程。
KdV方程雖然被提出,但是以當時的數學水平卻無法解出這個方程。
於是關於KdV方程的研究在半個多世紀裡,就這樣停滯不前。
不過,問題並沒有就這樣結束。
隨著物理學的發展,人們對各種波的研究加深後。
很多人又開始對孤立波進行了進一步研究。
然後,人們發現:兩個不同的孤立波在碰撞後,仍表現為兩個形狀不變的孤立波,然後在碰撞交錯後,彷彿什麼事情都沒發生一樣,繼續朝著自己原來路線前進著。
於是,人們把這種兩個孤立波相撞後保持不變的現象,稱之為“孤立子”
KdV方程於是就被成為了孤立子方程。
孤立子問題一出現後,就馬上引起了人們的廣泛。
因為人們發現,孤立子方程可以描寫許多自然現象的數學物理基本方程。
最後經過許多數學家的努力後,才發展出一套“散射反演方法”,成功解出孤立子方程。