對於這個神經網路的訓練過程，就是要確定這11935個引數。
訓練的目標可以粗略概括為：對於每一個訓練樣本，對應的輸出無限接近於1，而其它輸出無限接近於0。
根據Mic Nielsen給出的實驗結果，以上述網路結構為基礎，在未經過調優的情況下，可以輕鬆達到95%的正確識別率。而核心程式碼只有74行！
在採用了深度學習的思路和卷積網路(convolutional networks之後，最終達到了99.67%的正確識別率。而針對MNIST資料集達到的歷史最佳成績是99.79%的識別率，是由Li Wan， Matter， Sixin Zhang， Yann LeCun，和 Rob Fergus在2013年做出的。
考慮到這個資料集裡還有一些類似如下這樣難以辨認的數字，這個結果是相當驚人的！它已經超越了真正人眼的識別了。
在這個過程中一步步調整權重和偏置引數的值，就必須引入梯度下降演算法(gradient descent。
在訓練的過程中，我們的神經網路需要有一個實際可行的學習演算法，來逐步調整引數。
而最終的目的，是讓網路的實際輸出與期望輸出能夠儘量接近。我們需要找到一個表示式來對這種接近程度進行表徵。這個表示式被稱為代價函式(cost function
x表示一個訓練樣本，即網路的輸入。其實一個x代表784個輸入。
y(x表示當輸入為x的時候，期望的輸出值；而a表示當輸入為x的時候，實際的輸出值。y(x和a都分別代表10個輸出值（以數學上的向量來表示）。而它們的差的平方，就表徵了實際輸出值和期望輸出值的接近程度。越接近，這個差值就越小。
n是訓練樣本的數量。假設有5萬個訓練樣本，那麼n就是5萬。因為是多次訓練，所以要除以n對所有訓練樣本求平均值。
C(w，b的表示法，是把cost function看成是網路中所有權重w和偏置b的函式。為什麼這樣看呢？進行訓練的時候，輸入x是固定的（訓練樣本），不會變。在認為輸入不變的情況下，這個式子就可以看成是w和b的函式。那麼，式子右邊的w和b在哪呢？實際上，在a裡面。y(x也是固定值，但a是w和b的函式。
總結來說，C(w，b表徵了網路的實際輸出值和期望輸出值的接近程度。越接近，C(w，b的值就越小。因此，學習的過程就是想辦法降低C(w，b的過程，而不管C(w，b的表達形式如何，它是w和b的函式，這就變成了一個求函式最小值的最最佳化問題。
由於C(w，b的形式比較複雜，引數也非常多，所以直接進行數學上的求解，非常困難。
為了利用計算機演算法解決這一問題，電腦科學家們提出了梯度下降演算法(gradient descent。
這個演算法本質上是在多維空間中沿著各個維度的切線貢獻的方向，每次向下邁出微小的一步，從而最終抵達最小值。
由於多維空間在視覺上無法體現，所以人們通常會退到三維空間進行類比。當C(w，b只有兩個引數的時候，它的函式影象可以在三維空間裡呈現。
就好像一個小球在山谷的斜坡上向下不停地滾動，最終就有可能到達谷底。這個理解重新推廣到多維空間內也基本成立。
而由於訓練樣本的數量很大（上萬，幾十萬，甚至更多），直接根據前面的C(w，b進行計算，計算量會很大，導致學習過程很慢。
、於是就出現了隨機梯度下降(stochastic gradient descent演算法，是對於梯度下降的一個近似。